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<!DOCTYPE html>

<title>N-Körper-Problem</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">N-Körper-Problem</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Das <b>N-Körper-Problem</b> ist eine physikalische Problemstellung der <a href="Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a>, die das Aufstellen von <a href="Bewegungsgleichungen" class="mw-redirect" title="Bewegungsgleichungen">Bewegungsgleichungen</a> für jeden einzelnen <a href="Massenpunkt" title="Massenpunkt">Massenpunkt</a> als Ziel hat. Das N-Körper-Problem wird meist von Astronomen verwendet, um die Bewegung von <a href="Planeten" class="mw-redirect" title="Planeten">Planeten</a>, Sternen, Satelliten etc. zu simulieren. Daher wird auch heute noch in der <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> für einfache Berechnungen das klassische N-Körper-Problem verwendet. Bei Simulationen spricht man von der <b><a href="N-K%C3%B6rper-Simulation" title="N-Körper-Simulation">N-Körper-Simulation</a></b>.

</p><p>Das N-Körper-Problem der <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Allgemeine Relativitätstheorie">allgemeinen Relativitätstheorie</a> ist um einiges schwerer zu lösen als das der <a href="Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a>, weshalb für viele Simulationen weiterhin das klassische Modell verwendet wird.

</p><p>Der wichtigste Spezialfall des N-Körper-Problems ist das <a href="Zweik%C3%B6rperproblem" title="Zweikörperproblem">Zweikörperproblem</a> (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=2}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/405d64b14536deffc3465f1e81b1b7fe9358ad2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N=2}" loading="lazy"></span>), das schon im 17. Jahrhundert gelöst und fortan zur <a href="Bahnberechnung" class="mw-redirect" title="Bahnberechnung">Bahnberechnung</a> von zwei umeinander kreisenden Himmelskörpern verwendet wurde.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeine_Formulierung">Allgemeine Formulierung</h2></div>

<p>Gegeben seien <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> Punktmassen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95ec8e804f69706d3f5ad235f4f983220c8df7c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{i}}" loading="lazy"></span> (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,\dots ,n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,\dots ,n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3f269b2f3b2f87fec0168426652a5ea80b56112.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.636ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,\dots ,n}" loading="lazy"></span>), die sich im dreidimensionalen Raum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"></span> unter ihrem gegenseitigen gravitativen Einfluss bewegen. Die Position des <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span>-ten Massenpunkts sei durch den Ortsvektor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de93eb4c8bca39012a94e9809c45d7fd677bf975.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.023ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}" loading="lazy"></span> gegeben.

</p><p>Nach dem <a href="Newtonsche_Gesetze#Zweites_Newtonsches_Gesetz" title="Newtonsche Gesetze">zweiten Newtonschen Gesetz</a> ist

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7aec2c7de7542d0ded5459dd7b1818a61fce5451.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:8.046ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle m_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>gleich der Summe der auf das Teilchen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span> wirkenden Kräfte, in diesem Fall also der Gravitationskräfte aller anderen Teilchen auf das <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</p><p>Die gravitative Wechselwirkung zwischen dem <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span>-ten und dem <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}" loading="lazy"></span>-ten Teilchen ist nach dem <a href="Newtonsches_Gravitationsgesetz" title="Newtonsches Gravitationsgesetz">Newtonschen Gravitationsgesetz</a> gegeben durch<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}_{ij}=G{\frac {m_{i}m_{j}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|^{3}}}({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}).}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91061178c5e947aabc999b82384162f950268206.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:27.805ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}_{ij}=G{\frac {m_{i}m_{j}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|^{3}}}({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}).}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Damit können wir die Bewegungsgleichungen wie folgt schreiben:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

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<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

<mrow>

</mrow>

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<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}=\sum _{j=1,i\neq j}^{N}G{\frac {m_{i}m_{j}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|^{3}}}({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})=-{\frac {\partial V}{\partial {\vec {r}}_{i}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/795b3016d8f23217c9955036978b44c23faf2561.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:47.186ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle m_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}=\sum _{j=1,i\neq j}^{N}G{\frac {m_{i}m_{j}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|^{3}}}({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})=-{\frac {\partial V}{\partial {\vec {r}}_{i}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Wobei das <a href="Potential_(Physik)" title="Potential (Physik)">Potential</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"></span> gegeben ist durch

</p>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=-\sum _{1\leq j<k\leq N}G{\frac {m_{j}m_{k}}{|{\vec {r}}_{j}-{\vec {r}}_{k}|}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db27431b75d22a32eb015fe97efc141490d6fcaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:27.007ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle V=-\sum _{1\leq j<k\leq N}G{\frac {m_{j}m_{k}}{|{\vec {r}}_{j}-{\vec {r}}_{k}|}}.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Mit dem kanonischen Impuls

</p>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{i}=m_{i}{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f07faa29e823c9e2bac8ea8dd40e11d5419a6d2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-left: -0.089ex; width:12.304ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}=m_{i}{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und den kanonischen Koordinaten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {q}}_{i}={\vec {r}}_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {q}}_{i}={\vec {r}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4deb9af68af81941d5a9da59e83e1396d168697c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.23ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {q}}_{i}={\vec {r}}_{i}}" loading="lazy"></span> lassen sich die <a href="Kanonische_Gleichungen" title="Kanonische Gleichungen">Hamiltonschen Bewegungsgleichungen</a> durch<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>:

</p>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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</mrow>

<mrow>

<msub>

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</mrow>

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\quad {\text{und}}\quad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f32222c9b7e96961337878d6ffcbaf538781a2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.931ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\quad {\text{und}}\quad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>schreiben, wobei die <a href="Hamilton-Funktion" title="Hamilton-Funktion">Hamilton-Funktion</a> durch

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=T+V}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16c4145f950dfaaa813dee131314afb0b61f50df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle H=T+V}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>definiert ist. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span> ist hierbei die <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetische Energie</a> des Systems:

</p>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=\sum _{i=1}^{N}{\frac {|p_{i}|^{2}}{2m_{i}}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e63cb47abfdf3704ac13d68052b8abce538b4bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.277ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle T=\sum _{i=1}^{N}{\frac {|p_{i}|^{2}}{2m_{i}}}.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Aus den Hamilton-Gleichungen erkennen wir, dass das <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"></span>-Körperproblem durch ein System von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37b183457644de3b21f0eb69d056ce6f33d3580c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.226ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 6N}" loading="lazy"></span> <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">expliziten gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung</a> beschrieben werden kann.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezialfälle"><span id="Spezialf.C3.A4lle"></span>Spezialfälle</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Das_Zweikörperproblem"><span id="Das_Zweik.C3.B6rperproblem"></span>Das Zweikörperproblem</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Zweik%C3%B6rperproblem" title="Zweikörperproblem">Zweikörperproblem</a></i></div>

<p>Das Zweikörperproblem ist besonders in der Astronomie von herausragender Bedeutung, da es mit sehr großer Genauigkeit die Umlaufbahnen zweier <a href="Planet" title="Planet">Planeten</a> etc. beschreiben kann.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Bewegung_des_Schwerpunkts">Bewegung des Schwerpunkts</h4></div>

<p>Um das Zweikörperproblem zu lösen, stellen wir zuerst die Newtonschen Bewegungsgleichungen der zwei Teilchen auf:

</p>

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}_{12}=m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}\quad {\text{und}}\quad {\vec {F}}_{21}=m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd6b6185a392ff3bcc419ad343e64f8634a6af35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:33.473ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}_{12}=m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}\quad {\text{und}}\quad {\vec {F}}_{21}=m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Durch Addition der beiden Bewegungsgleichungen erhalten wir:

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}={\vec {F}}_{12}+{\vec {F}}_{21}=0.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/652adf338b59ebe8b270769688f7d3020444fc09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:31.794ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}={\vec {F}}_{12}+{\vec {F}}_{21}=0.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Nach Einführung von <a href="Schwerpunktsystem" title="Schwerpunktsystem">Schwerpunktkoordinaten</a> können wir das Zweikörperproblem durch

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\vec {R}}}\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\vec {R}}}={\frac {m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=0.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b117f6bbb5b28c2709c1e4042fbee62cb9c60a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:61.873ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\vec {R}}}\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\vec {R}}}={\frac {m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=0.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Der Schwerpunkt des Zweikörpersystems bewegt sich also geradlinig gleichförmig.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Bewegung_der_Massenpunkte">Bewegung der Massenpunkte</h4></div>

<p>Neben der Bestimmung der Schwerpunktbewegung wird manchmal auch die Bestimmung der Bewegung der einzelnen <a href="Massenpunkt" title="Massenpunkt">Massenpunkte</a> als Zweikörperproblem bezeichnet. Dieses Problem ist mathematisch aufwendiger, weshalb hier nur der Lösungsweg skizziert wird.

</p><p>Aus der Differentialgleichung

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu {\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}_{12}(x_{1},x_{2})={\vec {F}}(r)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48029578e8ec624c620f955d674f6a9913aa67c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.743ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \mu {\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}_{12}(x_{1},x_{2})={\vec {F}}(r)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>erhalten wir <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}(t)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d16f17fe8740127a7628ce98b69dc7fb8f4f9df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.872ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}(t)}" loading="lazy"></span>. Damit reduziert sich das Zweikörperproblem auf die Bestimmung von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}">

<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}" loading="lazy"></span> und von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {R}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {R}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f361eec9da18669c0e7e869c57bae6c657f53522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {R}}}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Wenn diese bekannt sind, lässt sich die Bewegung der Massenpunkte durch

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}_{1}(t)={\vec {R}}(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e971f069e08dd980193d61dfec67d3d6821efb04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:29.122ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}_{1}(t)={\vec {R}}(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und

</p>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}_{2}(t)={\vec {R}}(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b06b3e90f964ccc9724cca72d97824285f5b66a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:29.122ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}_{2}(t)={\vec {R}}(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>bestimmen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Das_Dreikörperproblem"><span id="Das_Dreik.C3.B6rperproblem"></span>Das Dreikörperproblem</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Dreik%C3%B6rperproblem" title="Dreikörperproblem">Dreikörperproblem</a></i></div>

<p>Newton hat bereits im Jahr 1687 in seiner „<a href="Principia_Mathematica" title="Principia Mathematica">Principia</a>“ die ersten Definitionen und Sätze zum Dreikörperproblem eingeführt. Seitdem wurden bereits zahlreiche spezielle Lösungen gefunden. Die erste dieser Lösungen wurde im Jahr 1767 von <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> gefunden. Bereits fünf Jahre später (1772) hat der Physiker <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a> eine weitere Lösung für Objekte, die ein gleichseitiges Dreieck bilden, gefunden. Bei dieser Lösung wurden auch erstmals die <a href="Lagrange-Punkte" title="Lagrange-Punkte">Lagrange-Punkte</a> eingeführt.

</p><p>Für das allgemeine Dreikörperproblem existieren keine geschlossenen analytischen Lösungen, da die Bewegung der Körper für die meisten Anfangswerte ein chaotisches System bilden und somit auf numerische Lösungen zurückgegriffen werden müssen.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Im Allgemeinen ist die Bewegung der Körper auch nicht-periodisch.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeine_Lösung"><span id="Allgemeine_L.C3.B6sung"></span>Allgemeine Lösung</h2></div>

<p>In der physikalischen Literatur wird das <i>N</i>-Körperproblem manchmal als „unlösbar“ bezeichnet. Diese Formulierung ist allerdings mit Vorsicht zu genießen, da „unlösbar“ nicht scharf definiert ist. Für das <i>N</i>-Körperproblem mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N>2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N>2}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69581f726ee98c603fa74d330d7aeba8ac571075.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N>2}" loading="lazy"></span> zeigte <a href="Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a>, dass es keine <i>geschlossene Lösung</i> (wie zum Beispiel die elliptischen Bahnen des gebundenen Keplerproblems) geben kann.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Das_N-Teilchenproblem_mit_der_Taylor-Reihe">Das N-Teilchenproblem mit der Taylor-Reihe</h3></div>

<p>Das N-Teilchenproblem lässt sich u. a. durch das Einführen einer <a href="Taylor-Entwicklung" class="mw-redirect" title="Taylor-Entwicklung">Taylor-Entwicklung</a> lösen.<sup id="cite_ref-Pöppe1997_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Pöppe1997-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Wir definieren unser System von Differentialgleichungen wie folgt:

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}_{i}(t)=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left({\vec {r}}_{k}(t)-{\vec {r}}_{i}(t)\right)}{\left|{\vec {r}}_{k}(t)-{\vec {r}}_{i}(t)\right|^{3}}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2d83cc90777f0e31e035d21e9addea6794d5f21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:36.953ex; height:8.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}_{i}(t)=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left({\vec {r}}_{k}(t)-{\vec {r}}_{i}(t)\right)}{\left|{\vec {r}}_{k}(t)-{\vec {r}}_{i}(t)\right|^{3}}}.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{i}(t_{0})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1b699eca83d26240c1f7d6bc92c2068407046da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.726ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}(t_{0})}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t}}(t_{0})}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t}}(t_{0})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d584fc8e7fa0fcbcc12550ee7a36491a3dc68631.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:7.855ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t}}(t_{0})}" loading="lazy"></span> als Anfangswerte bekannt sind, kennen wir auch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}}">

<mfrac>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8277875d44d07f7fd79fb791c744c4c1e9f7b5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:5.206ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}}" loading="lazy"></span>. Durch erneutes Differenzieren kennen wir dann auch die höheren Ableitungen, wodurch die Taylor-Reihe als Ganzes bekannt ist. Es bleibt aber zu zeigen, was der <a href="Konvergenzradius" title="Konvergenzradius">Konvergenzradius</a> dieser Reihe ist und dafür insbesondere wie sie sich in Anbetracht der <a href="Polstelle" title="Polstelle">Polstellen</a> (die rechte Seite der Bewegungsgleichung divergiert, wenn sich zwei Massenpunkte beliebig nahe kommen) verhält. Der chinesische Physiker Wang Qiu-Dong löste diese Frage 1991<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> indem er die Zeitkoordinate so transformierte, dass Singularitäten nur bei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a34d7a61899d577d950881b4a44888d43f3fa93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.777ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t\to \infty }" loading="lazy"></span> auftreten. Die gefundene Lösung ist allerdings nicht von praktischer Bedeutung, da die so gefundenen Reihen extrem langsam konvergieren.<sup id="cite_ref-Pöppe1997_4-1" class="reference"><a href="#cite_note-Pöppe1997-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Auch neue theoretische Aussagen, zum Beispiel über die Stabilität des <i>N</i>-Körperproblems, haben sich aus dieser Lösung bisher nicht ergeben.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Simulation">Simulation</h2></div>

<p>Neben der analytischen Lösung von N-Körper-Problemen gibt es auch numerische Methoden. Mit diesen lassen sich viele analytisch nur schwer lösbare Probleme recht einfach näherungsweise lösen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite style="font-style:italic">Grundkurs Theoretische Physik 1</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Springer-Lehrbuch</cite>. 2006, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-540-34833-7">10.1007/978-3-540-34833-7</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:N-K%C3%B6rper-Problem&rft.atitle=Grundkurs+Theoretische+Physik+1&rft.btitle=Springer-Lehrbuch&rft.date=2006&rft.doi=10.1007%2F978-3-540-34833-7&rft.genre=book" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite style="font-style:italic">V. Analytische Mechanik</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Theoretische Physik / Mechanik</cite>. DE GRUYTER, Berlin, Boston, ISBN 978-3-11-083533-5, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>102–123</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1515/9783110835335.102">10.1515/9783110835335.102</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:N-K%C3%B6rper-Problem&rft.atitle=V.+Analytische+Mechanik&rft.btitle=Theoretische+Physik+%2F+Mechanik&rft.doi=10.1515%2F9783110835335.102&rft.genre=book&rft.isbn=9783110835335&rft.pages=102-123&rft.place=Berlin%2C+Boston&rft.pub=DE+GRUYTER" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">V.33 The Three-Body Problem</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">The Princeton Companion to Mathematics</cite>. Princeton University Press, Princeton 2010, ISBN 978-1-4008-3039-8, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>726–728</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1515/9781400830398.726">10.1515/9781400830398.726</a></span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:N-K%C3%B6rper-Problem&rft.atitle=V.33+The+Three-Body+Problem&rft.au=Timothy+Gowers%2C+June+Barrow-Green%2C+Imre+Leader&rft.btitle=The+Princeton+Companion+to+Mathematics&rft.date=2010-12-31&rft.doi=10.1515%2F9781400830398.726&rft.genre=book&rft.isbn=9781400830398&rft.pages=726-728&rft.place=Princeton&rft.pub=Princeton+University+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-Pöppe1997-4"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Pöppe1997_4-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Pöppe1997_4-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Christoph Pöppe: <cite style="font-style:italic">Die Lösung des n-Körper-Problems</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Spektrum der Wissenschaft</cite>. <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1</span>, 1997, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>24</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/magazin/die-loesung-des-n-koerper-problems/823623">spektrum.de</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:N-K%C3%B6rper-Problem&rft.atitle=Die+L%C3%B6sung+des+n-K%C3%B6rper-Problems&rft.au=Christoph+P%C3%B6ppe&rft.date=1997&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=Spektrum+der+Wissenschaft&rft.pages=24" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Wang Qiu-Dong: <cite style="font-style:italic">The Global Solution of the n-Body Problem</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>50</span>, 1991, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>73–88</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:N-K%C3%B6rper-Problem&rft.atitle=The+Global+Solution+of+the+n-Body+Problem&rft.au=Wang+Qiu-Dong&rft.btitle=Celestial+Mechanics+and+Dynamical+Astronomy&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.pages=73-88&rft.volume=50" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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